ich weiß gerade kein Argumnt, ber versuchs mal mit quadratischen Kästchenmustern: also 1^2 ist ein Kästchen, 2^2 ist zwei mal zwei, also vier Kästchen.
Wenn Du mit 9, also 3 mal 3 anfängst, kannst Du diese 9 Kästchen ja in 2 mal 4 und ein übriges unterteilen. Und das nächstgrößere Quadrat, also die nächste Quadratzahl, bekommt man durch anfügen von einer Reihe und einer Spalte. Ich habe das mal versucht zu zeigen (das +1-Kästchen bleibt immer gleich), hoffentlich funktioniert der Link
Du kannst das auflösen in
(n-1)*(n+1)+1
= (n² + n - n -1) + 1
= n²
n ist dabei immer die ganze Zahl zwischen den beiden Faktoren.
Alles anzeigenHallo,
meine Tochter hat als Hausaufgabe folgende Aufgabe bekommen:
2x4+1=
3x5+1=
4x6+1=
5x7+1=
und so weiter. Man sollte dabei herausfinden, dass das Ergebnis immer eine Quadratzahl ist.
Ich finde das interessant, aber warum ist das so??? Kann mir das jemand erklären?
Das warum, weiß ich jetzt auch nicht. Aber vielleicht hilft dir ja eine Verallgemeinerung weiter:
X * (X +2) +1 = (X +1) ²
Ergibt ausgerechnet:
X ² + 2X + 1= X ² + 2X + 1
und mein Mann am mit dritter binomischer Formel: (a+b)*(a-b)=a^2-b^2.
Da muss man jetzt b=1 einsetzen:
(a+1)*(a-1)=a^2-1
und jetzt noch die -1 rüber:
(a+1)*(a-1)+1=a^2
mich würde interessieren, ob ihr bei meinem Link die Quadrate, die ich gezeichnet habe, seht oder ob das bei mir lokal gespeichert ist
Du kannst das auflösen in
(n-1)*(n+1)+1
= (n² + n - n -1) + 1
= n²
n ist dabei immer die ganze Zahl zwischen den beiden Faktoren.
Wahnsinn!
(a-1) x (a+1) +1 = a ²
a² +1a - 1a - 1 + 1 = a²
a² = a²
Jetzt war ich zu langsam.
mich würde interessieren, ob ihr bei meinem Link die Quadrate, die ich gezeichnet habe, seht oder ob das bei mir lokal gespeichert ist
ich seh nix.
Und ein mal auf deutsch, am Beispiel gerechnet:
Die Quadratzahl des Resultats ist ja immer das Quadrat der Zahl, die zwischen den beiden Anfangszahlen liegt.
z.B. 3 x 5 + 1 = 4 x 4
Mit anderen Worten, der Abstand zwischen den Zahlen ist jeweils 1.
5 = 4+1
Multipliziere ich das ein mal weniger, als ich für die Quadratzahl brauche, steht da
3 x 5 = 3 x 4 + 3 x 1
Es fehlt also nur noch eine 1, um auf die Quadratzahl zu kommen.
Das funktioniert bei allen diesen Aufgaben, weil die Abstände zwischen den Zahlen gleich bleiben:
a x b +1 = c² gilt, wenn b = a + 2 und c = a + 1 sind.
Alles anzeigenUnd ein mal auf deutsch, am Beispiel gerechnet:
Die Quadratzahl des Resultats ist ja immer das Quadrat der Zahl, die zwischen den beiden Anfangszahlen liegt.
z.B. 3 x 5 + 1 = 4 x 4
Mit anderen Worten, der Abstand zwischen den Zahlen ist jeweils 1.
5 = 4+1
Multipliziere ich das ein mal weniger, als ich für die Quadratzahl brauche, steht da
3 x 5 = 3 x 4 + 3 x 1
Es fehlt also nur noch eine 1, um auf die Quadratzahl zu kommen.
Das funktioniert bei allen diesen Aufgaben, weil die Abstände zwischen den Zahlen gleich bleiben:
a x b +1 = c² gilt, wenn b = a + 2 und c = a + 1 sind.
Das verstehe ich nicht , also dein Beispiel zur Erklärung.
Genauer was bedeutet 5 = 4+1
Und woher kommt 3 x 5 = 3 x 4 + 3 x 1
da das mit dem Link nicht funktioniert, ich aber die graphische Lösung ganz schön finde hier das Bild: Die rechte Seite der Gleichungen sind ja Quadratzahlen. Die kann man schön als Quadrate veranschaulichen. Hier für 3^2, 4^2 und 5^2. Das nächstgrößere Quadrat wird durch anfügen einer zusätzlichen Zeile und einer zusätzlichen Spalte gebaut, so wie die Abbildung zeigt
ist aber eher eine Veranschaulichung. Ein Beweis geht besser über die 3. Binomische Formel.
Du kannst das auflösen in
(n-1)*(n+1)+1
= (n² + n - n -1) + 1
= n²
n ist dabei immer die ganze Zahl zwischen den beiden Faktoren.
Auf so eine Antwort hab ich den ganzen Tag gehofft. Verstehen tue ich die Rechnerei , aber fürs Herleiten fehlt mir das Hirn.
Das verstehe ich nicht , also dein Beispiel zur Erklärung.Genauer was bedeutet 5 = 4+1
Und woher kommt 3 x 5 = 3 x 4 + 3 x 1
3 x 5 + 1= 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +1
= (4 x 3) + 3 + 1
= (4 x 3) + (3 + 1)
= (4 x 3) + 4
= 4 x 4
Ah , Ausklammern. Danke.
das hab' ich damals in der dritten selber rausgefunden.
Und keiner wollt's mir damals erklären...
Für Kinder lässt sich das übrigens ganz gut mit dem binomischen Quadrat erklären.
