Hilfe bei Statistik bzw. Wahrscheinlichkeitsrechnung?

  • Kaylee das habe ich verstanden. Also bei so einer Aufgabe muss ich die Wahrscheinlichkeitsverteilung nehmen.


    Ich mache dann mal weiter. Bald kommt eine neue Aufgabe, versprochen ;)

    Tine mit Perlchen *02.2010 und Junior *12.2013

  • Ich nochmal. Ich kann mir das mit den blöden Grenzen nicht merken. Kann mir das einer nochmal dummitauglich erklären?

    z.b. bei der Aufgabe:

    Die diskrete Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte zwischen -3 und +4 annehmen. F (x) = 0,05 für -3; 0,15 für -2; 0,3 für -1; 0,4 für 0; 0,65 für 1; 0,85 für 2; 0,95 für 3 und 1 für 4.


    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten: P (-1 <=X <3)


    Woher weiß ich da, welche Grenzen die richtigen sind? Ich rechne die Aufgabe immerzu nach, aber nehme wegen der Grenzen immer die falschen Werte...


    Tine mit Perlchen *02.2010 und Junior *12.2013

  • Hi Tine,


    nicht verzweifeln, da brauchen wir nur Geduld um zu sehen wo wir Dein Verständnis noch verfeinern muessen. Das ist einfach ein Eliminationsprozess. :)


    Dann schaun wir doch mal wo es schief geht. Wenn ich das richtig sehe, dann würdest Du intuitiv F(3)-F(-1) nehmen? Oder was anderes?


    Um die Wahl der Grenzen besser zu verstehen, nehmen wir am besten die Scenic Route und nicht die abstrakte und effiziente Formelroute.


    Schauen wir uns nochmal die Definition von F an:

    F(X) = P(x <= X)


    Das heisst es ist die Summe von allen Wahrscheinlichkeiten bis einschliesslich X


    Im Falle des Beispiels hatten wir:


    P(X=x):

    x P(x)

    -3 0.05

    -2 0.1

    -1 0.15

    0 0.1

    1 0.25

    2 0.2

    3 0.1

    4 0.05


    Das heisst, wenn ich mein Zufallsexperiment mache und wissen will wie wahrscheinlich es ist die Zahl X oder eine kleinere Zahl zu erhalten, dann wird das durch F ausgedrückt.


    In dem Fall zum Beispiel F(0) = P(-3) + P(-2) + P(-1) + P(0) = P(X<=0)


    Fuer eine diskrete Verteilung ist das nun auch das gleiche wie P(X<1), d.h. ich bin nur an den Faellen interessiert wo X < 1 ist, also:

    P(X<1) = P(-3) + P(-2) + P(-1) + P(0) = P(X<=0) = F(0)



    Wichtig ist, dass Du siehst, dass P(X<1) = P(X<=0) ist. Das ist vermutlich der Knackpunkt.


    Jetzt gehen wir weiter zu der Wahrscheinlchkeit die in der Aufgabe gesucht ist.


    Wenn wir jetzt P (-1 <=X <3) wollen, dann ist das P(-1) + P(0) + P(1) + P(2), die 3 ist nicht mehr dabei.


    Die Aufgabe geht jetzt erstmal davon aus, dass wir P nicht ausgerechnet haben. Wie koennen wir uns das jetzt aus F zusammen bauen?


    Wir muessen erstmal bis P(2) kommen, das heisst F(2) werden wir brauchen. F(2) =P(-3) + P(-2) + P(-1) + P(0) + P(1) + P(2). So, jetzt brauchen wir aber nur die Wahrscheinlichkeiten mit X >= -1, d.h. wir muessen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten loswerden, d.h. P(-3) + P(-2) muessen weg. Durch welches F bekommen wir die? Wir brauchen alles was X<=-2 hat, also F(-2).


    Folglich: P (-1 <=X <3) = F(2) - F(-2)


    Die allgemeine Formel fuer das Ganze ist:

    P(a < X <= b) = F(b) - F(a)


    Wichtig ist auch sich klar zu machen, warum folgende Wahrscheinlichkeiten fuer diskrete Zufallszahlen identisch sind:


    P (-1 <=X <3) = P(-2 < X < 3) = P ( -1 <= X <=2) = P (-2 < X <= 2)


    Das siehst Du am besten wenn Du fuer jeden einzelnen dieser Faelle mal die P's aufsummierst fuer die die jeweilige Bedingung erfuellt ist.


    Wenn das Dir nicht hilft, dann waere es wichtig, dass Du Deinen Gedankenprozess moeglichst genau aufschreibst - das geht im echten Gespraech besser, aber wir muessen uns nunmal so behelfen.

  • Du musst die Wahrscheinlichkeiten für alle Werte addieren, die größer oder gleich -1 und gleichzeitig kleiner als 3 sind.

    Also für die Werte -1, 0, 1 und 2, denn 3 ist ja nicht kleiner als 3.

    Jetzt gibt's zwei Möglichkeiten: entweder Du berechnest Dir aus den kumulierten Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte (das wären dann 0,15 für x=-1; 0,1 für x=0; 0,25 für x=1 und 0,2 für x=2; die Summe ist 0,7).

    Oder Du rechnest gleich mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten, wobei hier die Grenzen fies gewählt sind. Du kannst -1 <= X < 3 in diesem Fall (in dem es nur ganzzahlige Werte gibt) nämlich auch schreiben als -2 < X <= 2. Dann ist P(-2 < X <= 2) = P(X <= 2) - P(X <= -2) = 0,85 - 0,15 = 0,7.

  • Ich glaube am einfachsten lässt sich mein Problem bei der Aufgabe - P(X>=0) - erklären.


    Wenn man das Ausspricht heißt das ja - alles, was größer oder gleich 0 ist -

    Für mich ist das die 0,1,2,3 und 4

    Demnach hätte ich gerechnet: 1 - P(0) und das wäre ja 0,35. Aber das stimmt ja gar nicht. Warum also muss die P(-1) da mit rein?

    Tine mit Perlchen *02.2010 und Junior *12.2013

  • Das F geht einfach die ganzen Werte X lang und summiert munter alle P's auf. Wenn Du jetzt nur P(X>=0) magst, dann musst Du von allem was F summiert hat wenn es bei X=4 kommt alles abziehen was VOR der 0 kam und aufsummiert wurde - also F(-1).


    Das ist so wie bei Deinem Kontostand. Wenn Du heute, Freitag, wissen willst, was seit einschliesslich Dienstag dazu gekommen ist, dann musst Du vom aktuellen Kontostand den Kontostand vom Montag davon abziehen.




    Oder formaler aufgeschrieben:


    Wie Du schon schreibst: P(X>=0) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)


    Aber Vorsicht, Du brauchst nicht P(0) und auch nicht F(0), sondern eigentlich F(4) und F(-1). Warum?

    F(4) = P(-3) + P(-2) + P(-1) + P(0) + P (1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1


    Damit nur noch P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) davon übrig bleibt, musst Du die Terme P(-3) + P(-2) + P(-1) abziehen, aber das ist genau F(-1)


    Und deswegen ist P(X>=0) = 1 - F(-1)


    Du willst nicht F(0) abziehen, weil sonst nimmst Du ja die 0 auch raus, aber die willst Du ja dabei haben.

  • Du willst nicht F(0) abziehen, weil sonst nimmst Du ja die 0 auch raus, aber die willst Du ja dabei haben.

    Das ist, denke ich, der Knackpunkt.

    F(0) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ergebnis des Wahrscheinlichkeitsversuchs höchstens 0 beträgt. Also sind da -3, -2, -1 und 0 (!) drin.

    Also: F(0)=P(-3)+P(-2)+P(-1)+P(0)

    Die Wahrscheinlichkeit, die du berechnen willst, ist also nicht die des Gegenereignisses (F(X>0)), sondern eben F(X>=0). Du hast ja selbst schon richtig erkannt, dass das die Ereignisse 0, 1, 2, 3 und 4 beinhaltet. Also musst du überlegen, was dazu das Gegenereignis ist.

    Das wäre ja, wenn -3, -2, oder -1 "gewürfelt" werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eines dieser Ereignisse auftritt entspricht genau F(-1). Damit ist die Lösung deiner Aufgabe F(X=>0)=1-F(-1).

    Du kannst natürlich (zu Übungszwecken oder zur Absicherung des Ergebnisses) auch F(X=>0)=1-(P(-3)+P(-2)+P(-1)) berechnen. Das geht natürlich nur, wenn du die Einzelwahrscheinlichkeiten gegeben hast oder berechnen kannst.

  • Ich schon wieder. Die Klausur rückt näher und ich habe eine neue Aufgabe für euch.


    Für die stetige Zufallsvariable X soll die folgende Funktion als Dichte dienen:


    f(x) = cx-2 für 4 <= x <= 6

    0 sonst


    zuerst soll c bestimmt werden, so dass es sich um eine tatsächliche Dichte handelt und dann soll die Verteilungsfunktion ermittelt werden.


    Bitte Hilfe... #haare

    Tine mit Perlchen *02.2010 und Junior *12.2013

  • Liebe Tine, ich muss jetzt leider sofort ins Bett, werde morgen aber versuchen, Dir zu antworten. Eine Frage vorab: kann man voraussetzen, dass Du das Integral einer linearen Funktion y = cx - 2 bestimmen kannst? Die Verteilungsfunktion ist nämlich die Integralfunktion der Dichte, und mit Integral ist es relativ leicht zu erklären, ohne etwas schwieriger.

  • Sehr gut :)


    Ich kann jetzt immer nur bröckchenweise schreiben, dafür entschuldige ich mich gleich mal.


    Also erster Schritt: die Fläche unter einer Dichtefunktion muss immer gleich 1 sein. Bei deiner Aufgabe ist die Dichte für Werte kleiner 4 oder größer 6 ja gleich Null, also genügt es, wenn du dir den Bereich zwischen 4 und 6 anschaust.


    Die Fläche unter der Funktion f(x) = cx - 2 im Bereich 4 <= x <= 6 muss also 1 sein, damit es sich um eine Dichtefunktion handelt. Du musst also das bestimmte Integral von 4 bis 6 über die Funktion f(x) bilden und diesen Term dann gleich 1 setzen, um c rauszubekommen.

  • Ich wollte mal ein Update hier lassen. Die Statistikklausur habe ich dank euch mit (immerhin) einer 3,3 bestanden. Vielen Dank für eure Hilfe.

    Tine mit Perlchen *02.2010 und Junior *12.2013