Puh, gerade das mit dem fehlenden Verb bei "kann ich bitte ein Eis" sehe ich nicht so eng.
Ich mache mir immer wieder die Mühe und weise darauf hin und lasse sie auch mal auflaufen, damit sie wissen, dass die Korrektheit zumindest diskutierbar ist, aber solange sie in ganzen Sätzen reden können, dürfen sie auch mal schludern.
Morgens, müde, am Frühstückstisch hört man von mir durchaus auch ein "Marmelade, bitte". Und wenn mein Kind auf mich zugehüpft kommt und sich mit einem "Mama, Kuscheln!" in meinen Arm wirft, dann schiebe ich es auch nicht zurück und verlange einen ganzen Satz.
Das mit dem "ich gebe Dir ein Stift"-Problem ist sehr regional ausgeprägt. Im mittleren Westen war es extrem, da auch ganz oft bei Kindern aus gebildeten Elternhäusern. Sonst kenne ich das eigentlich hauptsächlich aus Familien mit geringerem Bildungshintergrund.