Hilfe- Halbwertszeit berechnen

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  • Hallo,

    meine Tochter (9.klasse) schreibt morgen Mathe, Thema Exponential- und Potenzfunktionen. Sie ist an sich sehr gut vorbereitet, jetzt hängt sie aber an einer Aufgabe, die anderen aus der Klasse kommen auch nicht weiter und ich müsste mich wahrscheinlich 3h ins Thema einarbeiten, um helfen zu können. Vielleicht ist bei euch ja jemand (gerade) firm.


    Die Aufgaben: Strontium 90 ist radioaktiv mit einer Halbswertszeit von 28,78 Jahren.

    A) Wie lange dauer es, bis 10% einer Stoffmenge zerfallen sind?

    B) Wieviel Prozent sind nach 85 Jahren noch übrig? Schätze erst und rechne dann.


    Die Lösung lautet (Übungsaufgabe):

    A) t= 28,78 mal LOG 0,5 (0,9) =4,37 (die 0,5 stehen nach untern versetzt, ich weiss nicht, wie ich das tippe). Sie versteht jetzt gar nicht, wie diese Gleichung zustanden kommt. Kann das jemand schlüssig erklären?

    B) Schätzung ist klar. ca 3 Halbwerstzeiten und demensprechend noch 12,5% übrig.

    Rechnung: (o,5) hoch (85/28,75) ist ungefähr 12,91 ( habe wieder hoch geschroeben, weil ich das nicht tippen kann). Hier ist ihr auch der Ansatz an sich unklar.


    Wenn das jemand auf Anhieb versteht und erklären kann, wären wir seehr dankbar!

    LG Doanka

  • Wenn 10% der Stoffmenge zerfallen sind, sind also noch 90% (0,9) übrig. Gesucht ist also die Zeit, die verstreicht, bis noch 90% übrig sind. Nach der Halbwertszeit (nennen wir sie h) sind noch 50% übrig. Nach der doppelten Halbwertszeit die Hälfte davon, also 25%. Allgemein gilt: nach der k-fachen Halbwertszeit noch 0,5k übrig, und das gilt auch für k < 1.


    Wenn die Funktion f(x) den übriggebliebenen Anteil bezeichnet, gilt also


    f(k*h) = 0,5k


    Jetzt bestimmen wir das k so, dass der gesuchte Wert, also 0,9 herauskommt. Dazu müssen wir die folgende Gleichung nach k auflösen:


    0,5k = 0,9


    Durch Logarithmieren ergibt sich:


    k = log0,5(0,9) ≈ 0,152


    Also sind nach dem 0,152-fachen der Halbwertszeit 10% des Stoffes zerfallen. Da die Halbwertszeit 28,78 Jahre beträgt, sind es


    0,152 * 28,78 ≈ 4,37


    Jahre.


    Bei Aufgabe B gilt: 85 ist das (85/28,78)-fache der Halbwertszeit. Also ist nach 85 Jahren

    f(85) = f(85/h)*h) = 0,5(85/28,78) ≈ 0,129 von der Ausgangsmenge übrig, also ca. 13%.

  • Auch ohne 5 in Mathe würde ich gerne wissen; Babane , was machst du beruflich? ;)

    Du hast das so schön hingeschrieben, dass sogar ich folgen konnte #respekt

    Ich hoffe, die Tochter von doanka hat es auch noch gesehen.

    (Und dann versuche ich mir diesen Thread zu merken für den Moment, zu dem mein 9. Klässler etwas Ähnliches rechnen muss.)

  • Babane vielen, vielen Dank- das hab auch ich (zwar mathematisch interessiert, aber seit 30 Jahren letztlich "draußen" auf Anhieb wieder verstanden. Wenn du nicht eh Mathelehrerin bist, dann ist eine an dir verloren gegangen. Ich hab das ganze auch noch meiner Tochter erklärt. Es kam heute dann gar keine Aufgabe dieses Typus dran, aber fürs nächste Mal wissen wir es jetzt, wie es geht!

  • Halli hallo, ich habe da (so rein interessehalber) eine Frage an die Matheauskennerinnen hier, ich finde das nämlich auch super erklärt, und ich habe es verstanden, obwohl ich in Mathe nie die hellste Kerze auf der Torte war:

    Im Prinzip heisst die eine Gleichung ja

    K=0,152, also 0,5 hoch 0,152=0,9.

    Gibt es eigentlich eine Möglichkeit, ohne Taschenrechner auf diese 0,152 zu kommen? Also mir fehlt die Vorstellung, wie man eine Zahl mit etwas anderem als einer ganzen Zahl potenzieren kann. Aber offensichtlich geht es ja, denn der Taschenrechner führt die Rechnung ja durch, ich frage mich nur, wie? Bei den Halbwertzeiten kann man sich ja durch Schätzen etc. irgendwie rantasten, aber wie ist der Rechenweg dahinter? Weiss das jemand, oder ist das vielleicht eine blöde Frage? #angst

    Liebe Grüße, Eva

  • Es gibt eine relativ einfache Umrechnungsformel, mit der man statt des Logarithmus zur Basis a nur den natürlichen Logarithmus (ln) zum Ausrechnen benötigt.

    Auch dafür benutzt man dann heutzutage den Taschenrechner, aber es gab und gibt auch sogenannte Logarithmentafeln, das sind Tabellen, aus denen man das Ergebnis ablesen kann.

    Wenn ich mich nicht völlig irre, hat mir mein Vater auch mal gezeigt, wie man das früher mit dem Rechenschieber gemacht hat.

  • Hallo Eva , blöde Fragen gibt es ja gar nicht. :D


    Du möchtest also wissen, wie du eine Zahl sinnvoll mit etwas nicht-ganzzahligem potenzieren könntest. Nehmen wir z.B. 2. Für natürliche Zahlen (also 1, 2, 3, 4, 5, ...) ist ja klar, was 2n sein soll, dazu muss man nämlich die 2 n-mal mit sich selbst multiplizieren. Als nächstes könnte man sich überlegen, wie man 2definieren kann. Für n > 1 gilt:


    2n = 2 * 2n-1


    Wenn das nun auch für n = 1 gelten soll, erhält man


    2 = 21 = 2 * 20


    und daraus folgt, dass 20 = 1 gelten muss.


    Aber was ist mit Brüchen? Was ist mit 21/2 ? Dazu kann man sich ein Potenzgesetz angucken, das weiterhin gelten soll. Für ganzzahlige Exponenten gilt ja


    (am)n = am*n


    Wenn das auch für nicht-ganzzahlige Exponenten gelten soll, kann man folgern:


    2 = 21 = 21/2 * 2 = (21/2)2


    Wenn man auf beiden Seiten die Wurzel zieht, erhält man also


    2 = 21/2


    Das kann man analog dann auch für andere Brüche 1/n machen, und sich dann wieder über das Potenzgesetz für Brüche m/n = m * 1/n überlegen, wie man die Potenz so definieren kann, dass die Potenzgesetze weiter gelten. Man erhält dann:


    2m/n = n√2m


    Wenn man das für Brüche geschafft hat, kann man es mittels Grenzwertbetrachtungen auf reelle Zahlen erweitern.


    Ohne Taschenrechner wird es aber auf jeden Fall eine langwierige Rechnerei. :P

  • #flehan #flehan #flehan Und ausserdem #applaus #laola #danceKaum zu glauben, aber nachdem ich mich in der Schule ewig und drei Tage mit den blöden Logarithmen rumgeplagt habe und am Ende immerhin eine 3 minus oder so in der zugehörigen Klassenarbeit geschafft habe, habe ich jetzt gerade zum ersten Mal in meinem Leben verstanden, wie das eigentlich funktioniert, und es hat mal eben 5 Minuten gedauert, wenn überhaupt, bis ich das geschnallt habe. Vielen vielen Dank, mir ist gerade ein ganzer Kronleuchter aufgegangen, und das ist ein echt schönes Gefühl, auch wenn es sich um einen Kronleuchter ohne direkte praktische Anwendungsmöglichkeit handelt. Es zeigt mir nämlich, dass ich doch nicht einfach nur zu doof bin, um Mathematik jenseits der Grundrechenarten zu kapieren. Ausserdem bin ich jetzt gewappnet, um das notfalls demnächst meinem Sohn erklären zu können, obwohl ich glaube, dass der da schneller ist als ich, und er hat eine super Mathelehrerin.


    Auf jeden Fall kann ich jetzt Dank euch besser schlafen, denn irgendwie hat mir die verflixte Logarithmenrechnerei keine Ruhe gelassen ( ich weiss, das ist auch ein bisschen #hammer, aber manchmal überkommt mich sowas #schäm )

    Gute Nacht!