Mathekapierer*innen vor - Gabriels Horn

Liebe interessierte Neu-Rabeneltern,

wenn Ihr Euch für das Forum registrieren möchtet, schickt uns bitte eine Mail an kontakt@rabeneltern.org mit eurem Wunschnickname.
Auch bei Fragen erreicht ihr uns unter der obigen Mail-Adresse.

Herzliche Grüße
das Team von Rabeneltern.org
  • Hallo zusammen,


    vielleicht könnt ihr mir ja helfen, etwas zu verstehen, das ich schon im Studium nicht kapiert habe (als das zum Glück nur mal so beim Gespräch unter Freund*innen aufpoppte, so dass ich es als "Hä? Kapiere ich nicht" abhaken konnte.


    Gestern kam aber T damit an, sie hatten das wohl in der Schule aufgebracht, und ich bin gelandet bei: Habe ich schon damals nicht kapiert, kapiere ich auch heute nicht.


    Das Problem und die für mich unverständliche Lösung finden sich beispielsweise hier bei Wikipedia.


    Dass die mathematischen Formeln zur Berechnung von Volumen der Trompete und von der Mantelfläche stimmen, daran habe ich keinen Zweifel (für das Volumen sehe ich das auch jetzt noch, das Integral für die Mantelfläche kriege ich nicht so einfach hin, aber ich glaube, damals konnte ich das sogar noch). Und ich sehe selber, dass dann dabei rauskommt, dass das Volumen einen endlichen Wert hat, und die Mantelfläche nicht.


    Aber anschaulich kapiere ich das nullkommanull. Die Mantelfläche umschließt doch immer ein Volumen. Damit nur die Mantelfläche größer wird, das Volumen aber nicht, müsste es doch irgendwann so sein, dass die Mantelfläche kein Volumen mehr umschließt. Das könnte ich vielleicht physikalisch noch nachvollziehen, dass man meinetwegen das Integrieren des Volumens abbricht, wenn der Durchmesser der Trompete kleiner wird als eine Planck-Länge, oder irgendsowas (wobei dann mal dahingestellt sei, wieso eine "Mantelfläche", die kein Volumen einschließt, dann noch eine Fläche sein soll, und kein Strich). Aber das ist es ja nicht. Sondern rein mathematisch kommt bei der Formel bei einer Integration bis Unendlich raus, dass das Volumen trotzdem beschränkt ist, und die Mantelfläche nicht.


    Kann jemand bitte den Knoten in meinem Hirn lösen?

    Liebe Grüße

    Sabine mit T. 10/02 und Q. 11/05

  • #freu Ich kapiere nicht mal die Frage. #laola

    Ach wie schade! ;) . Als ich sah: Ooooh, schon 'ne Antwort! dachte ich, dass mein Leiden so schnell ein Ende hat ?


    Vielleicht sollte ich die Frage lieber in den Rabenchallenge-Thread verschieben :D

    Liebe Grüße

    Sabine mit T. 10/02 und Q. 11/05

  • anschaulich kapiere ich das nullkommanull. Die Mantelfläche umschließt doch immer ein Volumen. Damit nur die Mantelfläche größer wird, das Volumen aber nicht, müsste es doch irgendwann so sein, dass die Mantelfläche kein Volumen mehr umschließt. Das könnte ich vielleicht physikalisch noch nachvollziehen, dass man meinetwegen das Integrieren des Volumens abbricht, wenn der Durchmesser der Trompete kleiner wird als eine Planck-Länge, oder irgendsowas

    Die Antwort darauf steht im von Dir verlinkten Wikipedia-Artikel weiter unten bei der Überlegung, wie viel Farbe man bräuchte, um diesen Körper

    a) zu füllen (=eine endliche Menge)

    oder b) seine Innenseite komplett zu bemalen (geht nicht, weil der Querschnitt irgendwann kleiner ist als ein Farbmolekül).


    Weil Gabriels Horn unendlich lang ist muss auch die Oberfläche unendlich groß sein. Es ist aber irgendwann extrem schmal, so dass nicht unendlich viel hineinpasst.

  • Du macht eine Grenzfallbetrachtung nach Unendlich, indem du das Horn verlängerst.

    Das Dumme ist, dass dabei das Volumen konvergiert => endlich, die Mantelfläche aber divergiert => unendlich.


    Mit anschaulich ist da leider nix; vielleicht fällt es mit einer Reihenentwicklung eher ins Auge.

    "Der Schluss ist ja impertinent - die Reihe ist doch konvergent!"

    Aber ich habe schon immer den Satz gehasst "wie das geschulte Auge leicht sieht..."

    Die beste Vergeltung ist, nicht zu werden wie dein Feind (Marcus Aurelius)

  • Die Antwort darauf steht im von Dir verlinkten Wikipedia-Artikel weiter unten bei der Überlegung, wie viel Farbe man bräuchte, um diesen Körper

    a) zu füllen (=eine endliche Menge)

    oder b) seine Innenseite komplett zu bemalen (geht nicht, weil der Querschnitt irgendwann kleiner ist als ein Farbmolekül).


    Weil Gabriels Horn unendlich lang ist muss auch die Oberfläche unendlich groß sein. Es ist aber irgendwann extrem schmal, so dass nicht unendlich viel hineinpasst.

    Das ist für mich ehrlichgesagt keine Lösung.


    Das ist nach meinem Verständnis das, was ich oben als physikalisch nachvollziehbar beschrieb (na gut, vielleicht eher teilweise), dass man ab irgendeinem Punkt (ich hatte die Plack-Länge gewählt, Wikipedia das Farbmolekül) sagt, es gibt kein Volumen mehr.


    Aber das ist ja nichts, was die Mathematik/Formel hergibt. Da steckt ja nicht drin: Ab einem X, für das 1/X < 1 µm (nur mal ein beliebiger angenommener Wert für die Größe des Farbmoleküls) ist das Integral Null, deshalb kommt dann kein Volumen mehr hinzu. Solche physikalischen Aspekte spielen mathematisch doch keine Rolle.


    Und wenn umgekehrt die Überlegung wäre, dass ab irgendeinem X kein sinnvolles Volumen mehr hinzukäme - wieso gibt es dann noch eine Mantelfläche? Wie kann ein nicht vorhandenes Volumen mathematisch von einer Mantelfläche umgeben sein? Ich dachte, mathematisch hätte eine Linie (und das wäre eine Ausdehnung in X-Richtung ohne Volumen für mich) keine Fläche.

    Liebe Grüße

    Sabine mit T. 10/02 und Q. 11/05

  • Du macht eine Grenzfallbetrachtung nach Unendlich, indem du das Horn verlängerst.

    Das Dumme ist, dass dabei das Volumen konvergiert => endlich, die Mantelfläche aber divergiert => unendlich.

    Wie ich schon schrieb: An den Formeln sehe ich das, und soweit ich es verstehe, sind die auch richtig.


    Mein Verlangen nach anschaulichem Verständnis war vielleicht falsch ausgedrückt. Dinge, die sich ins Unendliche erstrecken, sind für mich sowieso immer schwer vorstellbar. Und eine physikalisch-anschauliche Lösung wie das mit der Farbe schwebt mir auch gar nicht vor (würde ich natürlich schon nehmen, wenn ich es einleuchtend fände ;) ).


    Aber für mich scheint das innerhalb der Mathematik widersprüchlich zu sein. Nach meinem Verständnis bedingen sich das Volumen und die es begrenzende Mantelfläche gegenseitig. Ohne Mantelfläche kein definiertes Volumen, und ohne Volumen keine Mantelfläche. Wie kann es dann sein, dass das eine im Unendlichen einen unendlich großen Wert annimmt, und das andere nicht?


    Liegt mein Fehler in der Annahme, dass ich für das Volumen die Mantelfläche brauche und umgekehrt? Kann ich Mantelfläche auch ohne Volumen haben? Und wo ist in der Formel der Punkt erreicht, an dem ich kein Volumen mehr habe?

    Aber ich habe schon immer den Satz gehasst "wie das geschulte Auge leicht sieht..."

    Oh ja, ich auch.

    Liebe Grüße

    Sabine mit T. 10/02 und Q. 11/05

  • "Und wo ist in der Formel der Punkt erreicht, an dem ich kein Volumen mehr habe?"

    Nie, das ist das Blöde - du kannst das Ding quer in Kegelschnittsegmente teilen, und du wirst immer sowohl Mantelfläche als auch Volumen haben.


    Aber du hast im Fall des Grenzübergangs keinen Volumenzuwachs mehr, während der Mantel weiter wächst.


    Die Mantelfläche ist nicht durch das Volumen definiert, das sie umgibt, es ist einfach eine analytisch beschriebene 2-dimensionale Entität - genauso, wie das Volumen nicht durch die Mantelfläche beschrieben ist.

    Nur wenn es dir gelingt, für den allgemeinen Fall das eine als Funktion des anderen darzustellen, dann könntest du einem mathematischen Problem auf der Spur sein.


    (man merkt wieder, ich habe zu viele Vorlesungen der Herren Weizsäcker und Radbruch gehört)

    Die beste Vergeltung ist, nicht zu werden wie dein Feind (Marcus Aurelius)

  • Ich bin zwar wahrlich keine Matheauskennerin und Integralrechnung ist bei mir so lange her, dass ich die mathematische Lösung nicht nachvollzogen kriege, ohne mich da nochmal umfassend reinzuarbeiten, aber mit Knoten im Hirn kenne ich mich dafür aus eigener Erfahrung aus #cool Ich habe mir das bei Wikipedia mal angeguckt und ich glaube, die Nummer mit der Farbe in Verbindung mit Fläche, Volumen und Integral habe ich dann doch verstanden und will mal versuchen, das jetzt wahrscheinlich sehr stümperhaft in mathematischer Hinsicht zu erklären:

    So wie ich das verstehe, berechnet man die Fläche ja mit einem Integral gegen unendlich, das heisst, die Fläche, die das Trompetenrohr nach hinten raus hat (sowohl außen als auch innen) wird zwar immer kleiner, aber nie 0, weil es ja theoretisch immer länger werden kann. Beim Volumen kommt ja dann ein dritter Faktor dazu, und dieser kann nicht 0 werden, weil ich in dem Moment kein Volumen, sondern wieder eine Fläche habe. Aber trotzdem wird dieser Faktor ja immer kleiner. Im Prinzip kann man sich zwar der 0 annähern, aber die 0 ist die Grenze. Und sobald ich irgendeinen Wert habe, der größer ist als 0, habe ich wieder ein begrenztes Volumen, das zwar beliebig riesig sein kann, aber eben nicht unendlich. Ich denke, das ist so ähnlich wie bei den Periodenzahlen: 0,3 Periode (sorry, ich kriege leider die mathematischen Zeichen nicht hin) geht theoretisch unendlich lang so weiter, erreicht aber niemals 0,34, sonst wärs nicht 0,3 Periode.

    Ein Rätsel von einem ehemaligen Kollegen von mir veranschaulicht das Problem mit der Unendlichkeit auch noch ganz schön, wie ich finde:

    In einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern sind alle Zimmer belegt. Nun kommt ein neuer Gast an. Wie kommt der jetzt an ein Zimmer, wenn alle Zimmer belegt sind, ohne dass jemand ausziehen muss? Die Lösung: Jeder Gast zieht ein Zimmer weiter, und der neue Gast zieht in das erste Zimmer, was ja auf diese Weise wieder frei geworden ist.


    Ich hoffe, das war insgesamt einigermassen verständlich und kein Quatsch, was ich mir da zusammengeschrieben habe, wie gesagt, eigentlich bin ich eher Spezialistin in Hirnverknotung statt in Mathematik.

    Liebe Grüße, Eva

  • Danke für deine Geduld, Kerstin_Pfalz - ich habe die Hoffnung noch nicht aufgegeben, dass du es mir begreiflich machen kannst ;). Vielleicht ist ja unten bei meiner Antwort an Eva was dabei.


    "Und wo ist in der Formel der Punkt erreicht, an dem ich kein Volumen mehr habe?"

    Nie, das ist das Blöde - du kannst das Ding quer in Kegelschnittsegmente teilen, und du wirst immer sowohl Mantelfläche als auch Volumen haben.


    Aber du hast im Fall des Grenzübergangs keinen Volumenzuwachs mehr, während der Mantel weiter wächst.

    Diese Sätze scheinen mir widersprüchlich. Wie kann ich einerseits nie einen Punkt erreichen, an dem ich bei einem Querschnitt kein Volumen mehr vorfinde, aber dennoch im Fall des Grenzübergangs (was bedeutet das dann? Ich dachte, Grenzübergang würde den Vorgang bedeuten, dass ich gedanklich X immer größer und größer werden lasse?) keinen Volumenzuwachs mehr vorfinden, einen Mantelzuwachs hingegen schon?


    Die Mantelfläche ist nicht durch das Volumen definiert, das sie umgibt, es ist einfach eine analytisch beschriebene 2-dimensionale Entität - genauso, wie das Volumen nicht durch die Mantelfläche beschrieben ist.

    Das verstehe ich auch nicht. Vielleicht war es blöd, dass ich den Begriff "definieren" benutzt habe, der ist in der Mathematik ja besetzt.


    Aber in deiner Antwort klingt das irgendwie so, als hätten die beiden nichts miteinander zu tun. Aber die sind doch beide durch dieselbe Funktion definiert, das eine als die zweidimensionale Fläche, die sich bei Rotation der Funktion um die X-Achse ergibt, und das andere durch das Volumen, das innerhalb der dreidimensionalen Form liegt, die sich durch Rotation der Funktion um die X-Achse ergibt #confused . Das klingt für mich so, als würde man sagen, dass Kugelvolumen und Kugeloberfläche nichts miteinander zu tun haben, sondern eher zufällig das Kugelvolumen da aufhört, wo die Kugeloberfläche liegt. Das klingt ... bizarr, und ich fände es erstaunlich, wenn des Rätsels Lösung da zu finden wäre.


    Eva, danke für deine Erläuterungen. Ich glaube, ich verstehe, worauf du hinauswillst. Wenn ich richtig liege, meinst du, dass das Volumen, weil es dreidimensional ist, bei Verkleinern der Länge schneller kleiner wird als die Fläche, und dass das dafür verantwortlich ist, dass das Volumen auf einen endlichen Wert zustrebt, die Fläche aber nicht.


    So wie wenn ich eine eindimensionale Länge beispielsweise von 1 m auf 10 cm verkürze, ich etwas erhalte, das 1/10 der Ursprunglänge ist, bei einer quadratischen Fläche mit ursprünglich 1 m Kantenlänge bei Verkürzung auf 10 cm nur noch 1/100 habe, und bei einem Würfel mit Kantenlänge 1m bei Verkleinern auf 10 cm nur noch 1/1000 des Ursprungsvolumens habe. Und mir dann - im übertragenden Sinn betrachtet - 1/100 noch ausreicht, um zu einer unendlichen Fläche zu gelangen, 1/1000 aber nicht mehr, um zu einem unendlichen Volumen zu gelangen.


    Das mit den periodischen Zahlen fand ich auch einen guten Hinweis. Da habe ich mir immer vorgestellt, dass ich, um zu einer höheren Zahl zu kommen, mit einem Schritt mehr hinzugewinnen müsste, als der Schritt groß ist. Wenn ich zur nächstfolgenden Dezimalstelle, die ich betrachte, einen Faktor 10 kleiner werde, müsste ich mindestens 10 Teile davon hinzufügen, um meiner aktuellen Stelle einen Zähler hinzuzufügen. Und nicht, wie bei einem Beispiel von 33,3 Periode, nur 3 Teile.


    Falls diese Analogie passen sollte: Trifft das zu, dass ich für das Horn bei jedem (Integral-)Schritt bei der Fläche mehr hinzubekomme, als der Schritt groß ist? Und das bei dem Volumen (wegen des zusätzlichen Faktors, der die dritte Dimension aufspannt) nicht der Fall ist?

    Liebe Grüße

    Sabine mit T. 10/02 und Q. 11/05

  • Ja, ich glaube, das ist es. Der Gedanke kam mir irgendwie ganz unmathematisch bei der Sache mit der Farbe. Die Dicke der Farbschicht innen kann ja nicht 0 sein, da es sonst wieder eine Fläche und kein Volumen wäre. Die Dicke der Farbschicht (also der Radius) strebt aber schneller Richtung 0 als die Länge der Trompete Richtung Unendlich. Das heißt, das Volumen kann zwar beliebig groß werden, aber nicht unendlich. Genauso, wie ich bei 33,3 Periode unendlich viele Dreien anhängen könnte, ohne jemals auf 33,33333....4 zu kommen. (Ich finde ja, das diese Zahlen nicht umsonst "irrational" heißen. In meinen Augen ist es auch relativ sinnlos, zu sagen, dass unendlich mal 3 weniger ist als unendlich mal 4, und ich muss sofort an Chuck Norris denken.)

  • Wir kommen auf die Spur.


    Aber von oben:


    Wie kann ich einerseits nie einen Punkt erreichen, an dem ich bei einem Querschnitt kein Volumen mehr vorfinde, aber dennoch im Fall des Grenzübergangs (was bedeutet das dann? Ich dachte, Grenzübergang würde den Vorgang bedeuten, dass ich gedanklich X immer größer und größer werden lasse?) keinen Volumenzuwachs mehr vorfinden, einen Mantelzuwachs hingegen schon?

    Ich sehe da keinen Widerspruch - X ist die Länge meiner Zentralachse, die wird größer und größer, und ich marschiere daran entlang. "Zuwachs" ist die Ableitung der betrachteten Größe (sei es Fläche oder Volumen), die Steigung des Werts. Die geht beim Volumenzuwachs gegen 0, beim Flächenzuwachs nicht.


    Was ich meinte mit "Volumen wird nicht durch die Mantelfläche definiert und umgekehrt" ist folgendes:

    Du kannst aus der Mantelfläche eines Rotationskörpers im allgemeinen Fall nicht auf dessen Volumen schließen oder umgekehrt. Die beiden sind unabhängig.

    Nimm als Beispiel einen geschlossenen Ellipsoiden - wenn ich den lang zieh, dann bleibt die Oberfläche gleich, aber das Volumen sinkt. Und dieses Horn ist noch schlimmer, weil es offen ist, will sagen, wir beziehen Boden und Deckel in die Betrachtung gar nicht mit ein.


    Trifft das zu, dass ich für das Horn bei jedem (Integral-)Schritt bei der Fläche mehr hinzubekomme, als der Schritt groß ist? Und das bei dem Volumen (wegen des zusätzlichen Faktors, der die dritte Dimension aufspannt) nicht der Fall ist?

    Das verstehe ich nicht - was für einen Schritt machst du?
    Du bewegst dich entlang der x-Achse und bekommst pro x-Einheit Fläche dazu und prozentual unproportional weniger Volumen als Fläche.

    Aber wie kannst du "bei der Fläche mehr hinzubekomme, als der Schritt groß ist"? Du bekommst Fläche und Länge dazu, aber die prozentualen Verhältnisse spielen doch für das Volumen keine Rolle?

    Die beste Vergeltung ist, nicht zu werden wie dein Feind (Marcus Aurelius)

  • Das verstehe ich nicht - was für einen Schritt machst du?
    Du bewegst dich entlang der x-Achse und bekommst pro x-Einheit Fläche dazu und prozentual unproportional weniger Volumen als Fläche.

    Aber wie kannst du "bei der Fläche mehr hinzubekomme, als der Schritt groß ist"? Du bekommst Fläche und Länge dazu, aber die prozentualen Verhältnisse spielen doch für das Volumen keine Rolle?

    Was ich damit ausdrücken wollte: In Analogie zu den periodischen Zahlen wäre die Volumenzunahme für mich dann etwas, bei dem zwar, je größer ich X mache, immer noch etwas hinzukommt, das aber nur ein Auffüllen von immer weiter hinten gelegenen Dezimalstellen ist, was nichts (oder fast nichts) am Vorkommawert ändert.


    Die Flächenzunahme hingegen etwas, bei dem der Beitrag beim Wandern zu größeren X, selbst wenn er im Nachkommabereich stattfindet, immer noch so hoch ist, dass ein Überschlag stattfindet, der letztlich auch den Vorkommawert immer weiter hochzählt.


    Ich habe keine Ahnung, woran ich an der Formel erkennen kann, was davon der Fall ist.


    Aber dass es der Fall sein kann, habe ich mir mal plausibel gemacht, indem ich 1er-Schritt-Abschnitten (20 Stück davon) als Kegelstümpfe betrachtet habe und dafür jeweils die Mantelfläche und das Volumen ausgerechnet habe.


    Für das Segment von X=1 bis X=2 bekomme ich für die Mantelfläche 6,64, für das Volumen 1,83.

    Für das Segment von X=19 bis X=20 bekomme ich für die Mantelfläche 0,32, für das Volumen 0,008.


    Das Verhältnis der Zahlenwerte von Volumen zu Mantelfläche schrumpft also in diesen 20 Schritten von 0,27 auf 0,026, also von etwa 1/4 auf etwa 1/40.


    Das macht es mir zumindest vorstellbar, dass es einen Unterschied im Zuwachs gibt, der bei der Fläche zum grenzenlosen Wachsen führt, und beim Volumen nicht.

    Liebe Grüße

    Sabine mit T. 10/02 und Q. 11/05

  • Ah #idee1


    Das ist heiß - du bist gedanklich gerade dabei, die Reihenentwicklung anhand des Beispiels zu modellieren.

    Die beste Vergeltung ist, nicht zu werden wie dein Feind (Marcus Aurelius)

  • Ich glaube, das Problem besteht darin, dass menschliche Hirne nicht wirklich für den Umgang mit Unendlichkeit optimiert sind. War wohl kein evolutionärer Vorteil. ?


    Vielleicht kannst du dich dem Problem nähern, indem du es um eine Dimension reduzierst. Guck dir doch mal die Koch-Kurve an. Da kann ich jedenfalls leichter begreifen, dass die Fläche endlich ist, während der Umfang unendlich ist.

  • Ich glaube, das Problem besteht darin, dass menschliche Hirne nicht wirklich für den Umgang mit Unendlichkeit optimiert sind.

    Da bin ich mir sicher :wacko:


    Vielleicht kannst du dich dem Problem nähern, indem du es um eine Dimension reduzierst. Guck dir doch mal die Koch-Kurve an. Da kann ich jedenfalls leichter begreifen, dass die Fläche endlich ist, während der Umfang unendlich ist.

    Danke, das ist eine spannende Ergänzung. Aber so vom Verständnis her scheint mir das nur das Pferd aus der anderen Richtung aufzuzäumen.


    Ich habe nicht generell ein Problem damit, mir vorzustellen, dass ich zu etwas immer noch ein bisschen hinzufüge, und es wird trotzdem nicht größer als ein Grenzwert (wie bei den periodischen Zahlen), und natürlich auch nicht damit, dass etwas, dem ich immer mehr hinzufüge, unendlich groß wird. Sondern mein Problem war (glaube ich), dass es zwei so eng verbundene Größen sind. Die Fläche, die das Volumen umschließt.


    Wobei es mir da tatsächlich schwerer gefallen ist, mir vorzustellen, wieso das Volumen *nicht* unendlich groß werden soll, wenn die daran angrenzende Fläche es wird.


    Die Koch-Kurve zeigt für mich gedanklich dasselbe Problem - dass die begrenzende Kurve gen unendlich gehen soll, die durch sie begrenzte Fläche jedoch endlich ist. Und hier habe ich dann eher Schwierigkeiten, mir vorzustellen, wie man die Länge der Kurve trotz der begrenzten Fläche unendlich "aufblasen" kann.


    Insgesamt glaube ich aber jetzt, es verstanden zu haben, woher das kommt.


    Danke euch allen! War also doch nichts für die Raben-Challenge ;)

    Liebe Grüße

    Sabine mit T. 10/02 und Q. 11/05