Bei Kindkrank bist du nicht selbst krank, sondern du kommst deiner Betreuungspflicht nach.
Wenn du selbst krank bist, dann hast du Ausfälle in der Kontierung deiner Arbeitszeit, die dir nicht zum Nachteil gereichen dürfen, also Lohnfortzahlungsanspruch gegenüber dem AG (zu den 6 Wochen kommen wir später).
Wenn dein Kind krank ist, dann bist du zur Betreuung verpflichtet und vom AG freizustellen (die berühmten 10 Tage) ohne Bezüge - diese zahlt die Krankenkasse des Kindes. Wenn du aber nun Urlaub hast, dann bist du ja bereits freigestellt - und was du in diesem Urlaub tust, das ist Privatvergnügen, da ist der AG richtigerweise raus. Du kannst mit ihm reden, dass er den bereits bewilligten Urlaub zurücknimmt, aber es besteht kein Anspruch - wenn du selbst krank wärest, dann wäre dir juristisch durch Krankheit die Erholung entgangen (nicht dass die Betreuung eines kranken Kindes erholsam wäre, aber juristisch ist sie es), weswegen die eigene Krankheit urlaubsleistungskürzend wirkt. Wenn der AG den Urlaub zurücknimmt, dann kannst du den Kindkrank-Schein einreichen, wenn er nicht will, dann guckst du in die Röhre.
zur 2. Frage - ich weiß nicht ob man muss, aber ich reiche immer direkt auch bei der Krankenkasse ein.
Auskünfte zur Diagnose an den AG ist natürlich Humbug - aber es kann in der Tat sein, dass eine lange Krank-Periode tatsächlich mehrere Perioden sind und nach 6 Wochen die Lohnfortzahlung weitergeht. Wenn sich nämlich zwischendurch die Diagnose ändert und die beiden Diagnosen unabhängig sind - also du z.B. erst dir den dominanten Arm brichst und nach 4 Wochen, als der Gips ab kommt, eine Grippe kriegst, die dich noch 3 Wochen umhaut.
Dann geht die Diagnose an sich den AG immer noch nichts an, aber er bekommt eine Mitteilung, dass die 6-Wochen-Frist dannunddann neu startet.
Oder die anrechenbaren Vorerkrankungen, wie BeautyOfMars sagt.